对外隔绝的中国成长出的数学骄子 | 冯康传奇（四）-ag凯发真人

撰文 | 汤涛 姚楠

（本文转载自《数学文化》第一卷第2期）

在人的一生中，机遇与际遇如同两个孪生兄弟，如影相随。有时候，一个偶然的机遇会让人生的际遇改变；有时候，人生的际遇又会让失去的机遇重生。

也许，一个人曾经无数次地与机遇擦肩而过，无数次地与机遇失之交臂，但只要有一次握住了机遇的手，整个的人生际遇就会从此改变。

有限元对于冯康来说就是改变了他人生际遇的一次机遇。没有有限元，冯康的名字在今天就不会被人们一次次地提起。

没有有限元，冯康也就不会傲然地站在世界级数学大师之列。

尽管有限元的发现蕴含了一个又一个曲折的故事，尽管有限元的开发凝结了太多太多科学工作者的心血与智慧，尽管有限元的发展引发了学术界的争议与个人的恩怨，然而，当我们逐步抽丝剥茧，试图还原有限元发现前后的真实故事，我们发现，原来所有的一切都无法遮挡冯康的光芒。

冯康以他独有的数学高度与思想，不但发现并找到了这片数学王国的“美丽花园”，并且还给出了关于有限元方法充足的理论根据。冯康的高度与深度是同时代的许多研究者所无法超越的，他也因此赢得了国际声望与多位世界级数学大师的尊敬。

重拾有限元的故事，我们依旧要回到那令冯康激情燃烧的火红年代……

“黄河的水哗啦啦地流，流过一个美丽的地方，流过一道神奇的峡谷……”大多数人对于刘家峡的记忆都始于小学的语文课本。2008年，一首迅速唱红的歌曲《美丽的刘家峡》再度勾起人们对于这颗“黄河明珠”的向往与回忆。

今天，当我们乘船沿着黄河溯流而上，行至甘肃省永靖县内，豁然见到两岸奇峰对峙、壁立千仞、风景奇伟壮观。九曲黄河水陡然在这里转了一个九十度的急弯，向西奔流入峡。这里就是著名的刘家峡。

从空中俯瞰刘家峡水电站的景色

人们记住刘家峡不仅仅是因为它阳刚与阴柔兼备的奇特景观，更因为它包含了让许多中国人倍感自豪与骄傲的火红记忆。

刘家峡水电站是中国第一座超过百万千瓦级的大型水电站，也是中国第一个自己设计、施工、建造的超过百米的大型混凝土坝。从1958年9月27日刘家峡大坝红红火火地破土动工，到1966年10月刘家峡大坝顺利实现截流成功。1968年10月水库正式蓄水，1969年4月1日第一台机组发电……这一连串令人骄傲的事件曾经许久地激荡在人们的心中。

然而，人们也许还并不知道，这个令人骄傲的宏伟工程在建设中也不是一帆风顺的。50年代末至60年代初，刘家峡大坝遇到了一系列设计计算和建设方面的难题，造成大坝工程进展缓慢。

在中科院计算所，三室二组的主要任务之一就是承担水坝工程的计算问题。

三室二组最早进行水坝计算的是李旺尧。1958年李旺尧下放劳动，未完成的计算由黄鸿慈接手。在刘家峡大坝工程计算之前，黄鸿慈已经进行过广东河源新丰江水坝、云南威信扎西坝等水坝工程的计算。他运用以往的计算经验与蔡中雄、詹重禧（在计算所进修）一起编写了两个计算标准程序。其数学模型主要是重调和方程。据崔俊芝介绍，黄鸿慈等人编写的十三点差分格式应力函数计算程序质量非常高，已经达到了指令级程序的最优化。这两个程序为其后二组其他同事进行水坝计算奠定了良好的基础。

1963年，中科院对各科研单位提出了系统研究的要求，即以完成国家重大需求任务为目标，开展系统研究，解决国家发展中困难的科学问题。中科院提出的口号是“以任务带学科”。在当时的三室中，黄鸿慈应当说是既有超强的理论能力又有实战经验的骨干，深得冯康的欣赏，他也因此受命担当由冯康倡导成立的第七研究组的组长。黄鸿慈调任七组之后，二组接替他进行水坝计算任务的就是刚刚由西北工业大学分配来的年轻人崔俊芝。

1963年2月，刚刚过了农历新年，刘家峡大坝设计组的副组长朱昭钧工程师找到了计算所三室，请求帮助解决刘家峡大坝的应力分析问题。研究室把这项计算任务交给了崔俊芝。

朱工首先向崔俊芝介绍了他们采用的弓冠量分配计算方法，崔俊芝很快发现用这种方法形成的系数矩阵是病态的，于是他转而使用主元素消去法去求解弓冠量方法导出的病态线性方程组。病态问题虽然解决了，但是对计算结果进行应力校核，发现局部应力总是不平衡。于是，崔俊芝对弓冠量计算方法产生了怀疑。接着，崔俊芝在蔡中熊的帮助下利用黄鸿慈等人编写的应力函数法标准程序进行了计算，但算出来的结果仍然不能做到局部区域应力平衡。

崔俊芝今天回忆起来仍然认为，当时之所以计算的结果不理想，是因为采用十三点差分格式的应力函数计算程序来进行水坝应力分析。得不到满意的结果的主要原因是全部采用了正方形网格，水坝的边界不可能与网格线重合。黄鸿慈回忆说，内节点用差分逼近，边界节点不得不使用外推插值处理，这种不统一、不协调的处理方式也是造成计算结果不理想的原因。

除了计算方法之外，计算机储存量的限制也是造成计算难题的重要原因，当时的计算机全部数据与程序加起来不能超过2048个内存单元。崔俊芝称那是一个很艰苦的程序设计年代，因为当时编程序都用机器原码，输入都用纸带穿孔。

1950年代编写程序相当地辛苦。没有汇编，没有c，也没有c 。当时的那种编程并不是今天这样的“写”程序，也不是在自己家里或是办公桌上就可以做的，而是要用机器语言来编，要到保安极强的机房里换上白大褂去工作的！也就是说，编出程序除了写在纸上，更重要的是穿成纸带，即在纸带上打出一系列的小孔（修改程序就是给纸孔打补丁）。程序员需要先将计算机的指令换算成二进制数字，然后把二进制数字组成这些小孔，每个小孔代表一个信号；数十个小孔构成一条指令，驱使计算机做一个动作！这个方法一直延续到1980年初，笔者之一曾于1983年在北京大学的机房里穿过几个月的孔，在庞大的机房里体验过那时编程的艰辛。

正当崔俊芝对于水坝计算问题一筹莫展的时候，冯康在计算所的一次学术报告上重点讲述了一篇文章，这篇文章让崔俊芝茅塞顿开。经过了漫长的黑暗摸索，崔俊芝终于看到了光亮与希望。

作为三室全面的业务指导，冯康经常要在三室或者全所范围内作学术报告，分享一些他近期研究以及读书的心得。在一次报告中，冯康提到的是synge的一篇文章，并提出把微分方程写成变分形式，用变分的原理来推导差分格式。

冯康提到的那篇文章是prager和synge于1947年发表在美国《应用数学季刊》上的一篇文章。synge在应用数学和力学方面作过很多杰出的工作，也是钱伟长院士在多伦多大学读博士时的导师。他本人后来当选为英国皇家协会院士。他的二女儿cathleenmorawetz是柯朗数学研究所的著名教授，曾任美国数学学会会长，并当选为美国科学院院士。他的叔父约翰•辛格（johnm.synge）是爱尔兰著名诗人，也是英国皇家协会院士，代表作品包括《西方世界的花花公子》和《骑马下海的人》。他的另外一个远亲曾获1952年诺贝尔化学奖。所以这也是一个传奇的文化世家。

冯康的这次报告给了黄鸿慈和崔俊芝等人很大的启发，他提出的用变分原理进行差分计算的思想为许多年轻学者提供了新的研究方向。

有限元计算大坝的三维网格。1960 年代的网格仅仅是二维的。

1963年夏天，在冯康的带领下，三室的同事们掀起了钻研与探讨差分方法的热潮。他们从中科院的图书馆借来美国的forsythe和warsow二人于1960年写的一本书，叫做《偏微分方程的差分方法》。书中有两个关于椭圆方程计算的章节，讲到了变分差分格式。三室的同事们如饥似渴地争相阅读这本书，由于当时没有复印机，他们就自己抄公式、刻钢板，进行油印。

1963年水坝问题的计算已经由二组上升成为三室亟待解决的攻坚难题。

在冯康的筹划部署下，二组的水坝计算组分成三个小组，从三个不同方向对水坝计算进行系统研究。

三个小组的划分如下：二组副组长林忠楷带领一个小组，把大坝的基础砍掉，用应力函数的方法进行计算；二组组长魏道政带领一个小组，从平衡方程出发，把应力——应变关系代进拉梅方程进行计算，崔俊芝在这个小组。剩下的一个小组由蔡中熊带领，王荩贤在这个小组，从变分原理出发，直接用位移差商代替位移导数进行计算。三个小组要定期交流，并将结果向冯康汇报。

1963年10月，魏道政突发急性肝炎，住进了北京郊区潭柘寺医院。崔俊芝只好带着由魏道政指导毕业设计的科大64届毕业生魏学玲继续进行计算。为了尽可能地保证在坝体内部任意局部区域上的应力平衡性，崔俊芝与魏学玲采用了基于拉梅方程的积分守恒的差分格式，内部采取不等距矩形网格，边上采用三角形网格，使所有计算节点都落在坝体内部或边界上。二人分工合作，终于在1964年春天来临的时候算出了一组新的结果——利用积分守恒格式的计算结果。经过细致地应力校核，其结果不仅在边界节点附近应力是基本平衡的，且在坝体内部任意局部区域上的应力也是基本平衡的。

当崔俊芝把这样的计算结果交给刘家峡水坝工程设计组的人员时，他们露出了满意的笑容。

在获得用户满意的计算结果之后，崔俊芝对原来由他和魏学玲合作编制的程序进行了重大的修改，采用标准化的信息格式，编制出了第一个平面应力分析标准程序（104计算机版本）；同年，崔俊芝还编制了平面应力分析标准程序（119计算机版本）。利用这两个程序，崔俊芝为刘家峡工程计算了多个（不少于十个）设计方案。

与此同时，崔俊芝和王荩贤一起，把基于积分守恒格式的差分格式和基于变分原理的差分格式一一进行了对比，发现在边界节点上其差分格式是一致的；它们正是后来“有限元法”得到的边界节点上的差分格式；对于内部节点的差分格式也进行了组合优化，形成了当时认为是最好的差分格式。以这些差分格式为基础，崔俊芝、王荩贤、赵静芳三人合作编制了另一个平面应力分析标准程序（109-乙计算机版本）。利用这个程序，他们为多个不同类型的结构工程进行了平面应力分析。

1964年“五•一”节，对于三室的同事来说心里是暖洋洋的，经过多年的刻苦攻关、废寝忘食，水坝计算的系统研究终于有了结果，刘家峡大坝的应力分析已经使用户满意。“五•一”过后不久，在计算所302房间，冯康、黄鸿慈、崔俊芝等人激动地向刘家峡大坝工程设计组的负责人员进行了汇报。

破解刘家峡大坝应力分析的计算难题是计算所三室对社会主义经济建设的一大贡献。1966年10月刘家峡大坝截流成功时，三室有关人员曾收到一份落款为“中共中央、国务院、中央军委、中央文革小组”的明码电报，祝贺和表彰计算所三室在刘家峡水电工程建设中的突出贡献。

人们原本以为，破解了刘家峡水坝的计算难题，事情就应该画上了一个圆满的句号。谁知，时隔不久，由刘家峡大坝的计算更引发了另一个美丽的结局。

冯康在指导与总结刘家峡水坝计算的过程中，发现了一整套求解偏微分方程边值问题的计算方法，一个用变分原理进行差分计算的方法。即通过剖分插值，构建分片多项式的函数空间，来求解偏微分方程。这就是著名的有限元方法。虽然冯康当时把它叫做基于变分原理的差分方法。这一方法的发现在计算数学领域中引起了强烈的震动。

早在1962年2月，黄鸿慈在《计算机动态》的《计算数学》专刊中发表了一篇题为“求解重调和方程最小特征值问题的一种差分方法”的论文，文中提出一种求解四阶微分方程的c1-元（即导数连续的分片多项式空间）方法。这篇文章被称为“具有早期有限元的思想”，后来也成为有限元方法报奖的四篇文章之一。当时，冯康对黄鸿慈的这篇文章大加赞赏，黄还因此被提升为助理研究员，获得了晋升两级工资的嘉奖。

1964年10月，为迎接即将在哈尔滨举行的全国计算机会议，三室先召开了一个预备会议。会上，黄鸿慈和崔俊芝分别作了关于理论和计算方面的报告。黄鸿慈的报告主要讲了拉普拉斯（laplace）方程和平面弹性问题的离散方法的误差估计，但是在较强的解的光滑性条件下完成的。黄对这个结果很满意，还专门向冯康单独汇报了这个结果并征求他的意见。令黄费解的是，冯康听后表现得很冷淡，并没有象两年前给他提工资那次那样热情。一年后，黄鸿慈了解到，其实冯康当时正有一个从广义函数出发的收敛性证明，也是他那篇伟大的开创性文章中讲述的工作。只不过这一次冯康并没有和黄交流。

1965年5月，全国计算机会议在哈尔滨召开。由于当时黄鸿慈已经去河南信阳“四清”劳动，他没有机会听到冯康那篇精彩的报告。后来冯康的报告又以论文的形式发表在1965年第4期《应用数学与计算数学》期刊上，题为“基于变分原理的差分格式”。而根据张克明等三室领导决定，黄和崔俊芝两人需要把1964年10月在三室作的报告删改合并，发表于1966年第1期的同一个期刊上，题为“求解平面弹性问题的差分方法”，论文的合作者还有王荩贤、赵静芳、林宗楷。

冯康 1965 年论文的英译版

黄鸿慈、王荩贤、崔俊芝等人的文章给出了有限元方法的误差估计，这是文献可查的非常早的误差估计结果，但是在较强的解的光滑性假定下获得的。而冯康在其论文中，用高深的数学理论，在极其广泛的条件下证明了方法的收敛性和稳定性，建立起有限元方法严格的数学理论框架，为有限元方法的实际应用提供了可靠的理论基础。这篇论文被公认为是中国学者先于西方创造有限元方法理论的标志。

由于黄鸿慈的文章没有单独发表，他也怀疑是冯康从中作梗，因此也为冯康与黄鸿慈多年后的恩恩怨怨埋下了伏笔。冯康的这篇文章与黄鸿慈等人的文章最终成为了有限元报奖的重要材料。

如同任何科学技术的创新都是社会和科技发展的必然结果一样，在那样一个令人激情燃烧的年代，在一个国家呼唤计算数学飞速发展的年代，冯康团队与他们的有限元方法呼之欲出。冯康在许多场合都反复提到他的那篇文章是在水坝计算的基础上写出来的，有限元方法的提出是集体智慧的结晶。

是的，应当说，如果没有三室同事水坝计算的大量实践，冯康就不会发展有限元方法的系统理论。然而，如果没有冯康的数学境界与思想高度，也不会有有限元方法的发现和理论化。冯康的贡献不仅仅是一个数学理论的证明，而是一个方法从数学角度的重新发现，并且使得这个方法得以更广泛地应用。

许多国际著名科学家对冯康的这一成果都给予极高赞誉和充分的肯定，也把这一成果摆到了它应该占有的地位上。

正如我们在故事的开篇提到的，法国著名科学家、法国科学院院长里翁斯（j.l.lions）院士赞扬冯康是在对外隔绝的环境下独立创始了有限元方法，位列世界最早。曾任美国总统科学顾问及美国数学会会长的彼得•拉克斯（p.lax）院士后来在纪念冯康的文章中也写道：冯康独立于西方并行地创造了有限元方法的理论，在方法的实现及理论基础的创立两方面都做出了贡献。

法国科学院院长里翁斯对冯康的工作给予高度评价    

中国的国家领导人在讲话中多次提到有限元的成就。

2002年5月28日，时任国家主席的江泽民在两院院士大会上发表了重要讲话，他说到：在当代世界科技发展的史册上，我国科技工作者也书写了光辉的篇章。在数学领域创立的多复变函数的调和分析，有限元方法和辛几何算法，示性类及示嵌类的研究和数学机械化与证明理论，关于哥德巴赫猜想的研究，在国际上都引起了强烈反响。

2008年12月15日，胡锦涛主席在纪念中国科协成立50周年大会上发表讲话也别提到了有限元方法，并在新中国成立以后的众多科学成果中将其列在第一位。

有限元方法的发现和其数学理论让冯康攀上了数学研究的第一个巅峰。

提到二十世纪对人类具有重大影响的发明，人们自然会联想到飞机、电视、卫星、电子计算机、无线通讯技术等等这些与人们近在咫尺、息息相关的发明创造，事实上，人们可能并不知道，在工程设计领域还有一个直接关系到国计民生的重大发明，那就是有限元方法。

有限元方法对于数学界、物理学界、工程界的人士来说是再熟悉不过的，而对于普通人来说却显得陌生而遥远。其实，人们可以不知道有限元，却一定知道今天的飞机可以造得庞大而又安全；人们可以不知道有限元，却一定知道今天的大坝可以造得坚固而又伟岸；人们可以不知道有限元，却一定知道今天的手机可以让沟通变得畅快而又简单……有限元间接地与人们的生活发生着千丝万缕的联系。

有限元方法的早期发展有着较漫长的历史。

结构力学家在对飞机结构应力分析的研究中，最早导致有限元方法及其技术的诞生。飞机在载荷变化很大的环境下工作，会经受复杂的应力变化。这时，结构的承载能力、断裂疲劳寿命、结构的可靠性和耐久性，都需要有合理的分析。这些分析，直接影响设计与制造的成本。在计算机出现之前，这些问题的解答主要依赖各种形式的结构实验。由于这些实验基本上是采用和飞机的大小差不多尺寸的模拟，因此实验规模之大，花费之高是可想而知的。一架好端端的飞机在巨大的全机静力试验厂房内，通过液压传动的协调加载设备，在一声巨响之下，将其拉得支离破碎，真是非常可惜。

1950年代中，美国飞机设计工程师m.j.turner与大学教授r.j.clough合作在1956年的《航空科学杂志》上提出了飞机结构分析的直接刚度法，同时欧洲的argyris教授创导了飞机结构分析矩阵分析方法，他们被认为是当代有限元法诞生的起点。但作为一种求解数学物理问题的近似方法，这一方法的原型甚至可以从大数学家柯朗（r.courant）1940年代发表的论文中找到。但是由于当时计算机尚未发明，柯朗的方法因计算量太大并未引起科技界的重视。

按力学应力平衡方法装配起来的有限元系统，被当作为复杂结构应力-应变分析的一个近似的数学模型，是有限元化繁为简指导思想的根本。由于几何形状简单，受力变形单纯，每一单元的应力—应变关系可根据有限的几个节点位移直接地表达出来。这种按力平衡原理组合可等价为单元刚度矩阵的某种叠加，于是一个复杂的应力-应变问题能够归结为一个线性代数方程组问题。也正是这个原因，力学家们一开始把有限元方法叫做直接刚度法或矩阵方法。

这是结构力学家发明的有限元法的思维路线。而真正对有限元方法有所突破，并使得有限元方法得以大范围、广泛应用的却是计算数学家们的贡献。特别是中国数学家对于有限元方法的创导和发展具有不可磨灭的贡献。

2005 年， 拉克斯从挪威王子手中接过约百万美元的数学大奖， 阿贝尔奖。拉克斯对冯康的贡献非常赞赏。

中科院计算所三室成立的主要任务是研究计算数学，计算数学作为数学的一个重要分支，研究的内容包括算法设计和算法分析。在三室，一组、二组和三组的主要研究工作是求解连续的偏微分方程问题，既把连续的偏微分方程转换为离散的数值代数问题。这样可以把极少可能找到解析解的连续问题转化为离散的有限维问题，进而计算得到近似解。这个过程叫数值偏微分方程方法。

微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求解微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题（比如水坝应力分析问题）。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初边值混合问题（如天气预报问题、石油勘测问题等）。

大多数微分方程问题往往求不出解析解，或者其解析解不易找到。所以要采用可行的数值解法。在1950年代以前，最主要的数值求解方法是有限差分方法，简称差分方法。它的基本思想是把问题的定义域进行矩形剖分，然后在网格点上以用网格节点上的函数值的差商替代控制方程中的导数进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值方法，数学概念直观，表达简单。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、求解方法、解的数值稳定性、差分格式的解与原问题的真解的误差估计，以及差分格式的解当网格尺寸充分小时是否趋于真解（即收敛性）等等。

在有限差分理论方面起到先驱作用的学者包括计算机之父冯•诺伊曼（vonneumann），他给出了基于傅立叶级数的稳定性分析方法。沃尔夫奖获得者彼得•拉克斯（peterlax）提出了等价性定理，建立了差分方法稳定性和收敛性的内在联系。还有俄国数学家萨马斯基（a.a.smarskii）院士系统地发展了有限差分理论。另外，马尔丘克院士（g.i.marchuk）提出了交替方向法，使高维度空间的差分方程求解变得更有效，后者于1980年代曾任苏联部长会议副主席和苏联科学院院长。

有限差分方法直观、理论成熟，精度容易预测。但是对区域的规则性要求较高，对于不规则区域处理繁琐。这些缺点已被证明可以用有限元方法来弥补。对于有限元方法，其基本思路可用下面六点说明：第一、根据变分原理建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元的出发点。第二、区域剖分。根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干个相互联接但又不重叠的单元。第三，确定单元基函数。根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的函数作为单元基函数。第四，单元分析。将各个单元中待求解的函数用单元基函数的线性组合进行逼近；再将近似函数带入积分表达式，并在单元上进行数值积分，可以获得含有待定函数节点近似值的代数方程组，称为单元有限元方程。第五，总体合成。将区域中所有单元的有限元方程进行累加，形成总体有限元方程。第六，求解有限元方程。由于最后得到的是代数方程组，采用适当的数值代数方法，可求得各节点的函数值。这个方法最重要的优点之一是上述的第二步，其单元可以不是矩形，这样就可以应付任意形状的多边形区域。在实际计算中，有限元方法可以应用于任何的求解区域。

这些有限元方法的叙述，是我们今天在计算方法的教科书中常见的内容。

计算所三室的数学家们当时面临解决大坝受力问题，从不同的角度也达到了有限元法的统一形式。冯康和他的团队考虑的是一组描写物理力学问题的连续的偏微分方程的近似解，将这些偏微分方程用泛函分析的方法转化为求解能量极小的变分问题。再将所有可能的场变量局部近似，在场内每个简单的三角形或四边形区域上，假定场变量具有低阶多项式的近似表达式。这样，无穷自由度的问题就可以近似成有限自由度的ritz-galerkin问题。如前面描述的，在实际计算过程中，冯康和同事们发现现有的计算方法对许多问题的求解并不适用，难以满足工程应用的实际需求。他注意到同一个物理问题可以有多个数学表达形式，而这些数学形式在理论上是等价的。过去人们在求同思维的驱使下，往往只注意早已广为人知的微分方程形式，而不注意其它形式。计算数学家往往也只研究已有的计算方法，或从微分方程形式去构造一些新的差分格式。但冯康并不满足于此。

求异思维使冯康决心创建和发展新的计算方法。既然一个物理问题可以有多个等价的数学表达形式，为什么非从微分方程形式出发呢？他注意到了久被忽视的变分形式。为了克服传统计算方法难以处理几何形状与材料的复杂性，难以保持物理问题的主要特征，冯康开辟了椭圆型方程计算方法的系统研究。在大量计算经验的基础上，通过系统的理论分析及总结提高，把变分原理与剖分逼近有机结合，既保持了物理问题的主要特征，又以“分整为零、裁弯取直、以简驭繁，化难为易”的新思路，妥善解决了几何形状和材料的复杂性问题，创造了一整套从变分原理出发求解偏分方程问题的数值方法。

冯康曾用简单形象的比喻形容有限元方法：求解微分方程的定解问题好象是大海捞针，成功的可能是微乎其微；但有限元离散后，寻求近似解就好象是碗里捞针，显而易见容易多了。

需要提出的是以冯康为首的中国科学院的研究集体在用计算机做水坝应力——应变分析的过程中，克服了传统方法的种种缺陷，创造性地提出基于变分原理的差分方法。当时中国和西方的交流几乎中断，这个方法和西方称为有限元的方法完全一样。他们不仅提出了方法，而且更重要的是在世界上最先给出了这一方法的可靠性理论，开辟了有限元数学的新篇章。冯康的论文是国际公认的最早有关有限元理论的奠基性工作；在对函数解析性质要求非常一般的情形下，给出了方法的稳定性和收敛性证明。需要指出的是，很多介绍冯康工作的文章中都提出冯康1965年的经典性文章（后由李波翻译的英文版本difference scheme based on variational principle全文可见http://lsec.cc.cn/fengkangprize/article.html）给出了近似解的误差估计，但这是不符合实际的。冯康的论文并没有给出误差估计，这方面的工作由捷克的m.zlamal于1968年给出（on the finite element method，德国出版的《数值数学》，第12卷，394-409页）。zlamal(1924-1997)时任捷克布尔诺（brno）科技大学教授。zlamal的文章用到j.céa于1964年用法文发表的一个重要不等式以及p.g.ciarlet1966年的博士论文。

由中国数学家冯康等开创的这一研究，在其后的数十年中，捷克/美国（代表人物i.babuska）、美国（代表人物j.douglas和j.bramble）、法国（代表人物p.ciarlet和p.raviat）、意大利（代表人物f.brezzi）等许多学者广泛参与，最终确定有限元的逼近性质、逼近精度、有限元尺寸和多项式阶次的关系，使有限元方法实现质的飞跃。在这些分析中，广义函数论、索波列夫空间理论、偏微分方程的希尔伯特空间方法等现代数学理论都起着重要的作用。顺便说一下，前面提到的法国人p.ciarlet2003年以后一直在香港城市大学工作，他是法国科学院院士，今年更锦上添花地成为中国科学院外籍院士。他于1970年代末写的有限元专著，成了研究有限元理论的学者们必读的参考书。

法国科学院院士、 中国科学院外籍院士、
香港城市大学教授 p. g. ciarlet

时至半个世纪后的今天，有限元方法的理论不仅在应用数学领域被广为接受，即使在纯数学领域也得到认可。2002年，在北京举行的世界数学家大会上，美国的d.arnold作了一个小时的大会报告。在2006年西班牙马德里举行的世界数学家大会上，意大利的a.quarteroni也作了一个小时的大会报告。两个人都是有限元方面的专家。在纯数学统治下的数学家大会上，连续两届有两个一个小时的报告，足见有限元这一研究方向受到的重视程度。